Ce qu'on voit dans le ciel (le parcours visible de B autour de A) n'est jamais la véritable orbite, mais sa représentation sur le plan céleste, déformée par l'inclinaison et la disposition du système. Il est donc nécessaire de faire plus qu'un simple ajustement d'ellipse pour calculer l'orbite réelle à partir de cette projection.
Un heureux hasard géométrique
La première bonne nouvelle est un théorème de la géométrie projective : l'image oblique d'une ellipse demeure toujours une ellipse. Donc, le déplacement apparent de B autour de A forme également une ellipse mais avec un défi : contrairement à l'orbite authentique, l'étoile A n'est généralement pas située à l'un des foyers de cette ellipse apparente (elle n'y est que si on observe le système exactement de face). C'est exactement cette différence qui, lorsqu'on l'évalue, permet de déterminer l'inclinaison et l'orientation réelles du système.
Une méthode moderne : les constantes de Thiele-Innes
De nos jours, nous n'utilisons plus la méthode manuelle du XIXe siècle. On tire parti du fait que la position apparente (x, y) de B à un moment précis se formule comme une combinaison linéaire directe de deux coordonnées secondaires (X, Y), qui sont, elles, dérivées de l'équation de Kepler (qui est fonction de la période P, de l'excentricité e et de l’instant de passage au périastron T0) :
x = A·X + F·Y
y = B·X + G·Y
Les coefficients A, B, F et G, également connus sous le nom de constantes de Thiele-Innes, intègrent le demi-grand axe (a), l'inclinaison (i), le nœud (Ω) et la longitude du périastron (ω). En pratique, la procédure est la suivante :
1. On suggère des valeurs de test pour P, T0 et e.
2. On détermine X et Y à chaque point de mesure en se basant sur ces valeurs.
3. On ajuste A, B, F et G en utilisant une régression linéaire simple sur toutes les mesures (ρ, θ) converties en (x, y).
4. On améliore P, T0 et e par des itérations répétées, jusqu'à obtenir le meilleur ajustement possible entre l'orbite calculée et les mesures.
5. Une fois que A, B, F et G sont déterminés, on peut algébriquement en déduire a, i, Ω et ω.
Avant l'ère de l'informatique : les techniques graphiques
Avant l'avènement des ordinateurs, les astronomes déterminaient ces mêmes éléments en utilisant la construction géométrique à la règle et au compas, à partir de quelques points soigneusement sélectionnés sur l'ellipse observable. C'était un travail de patience, certes, mais la précision était bien inférieure à celle de l'ajustement contemporain par moindres carrés basé sur l'ensemble des mesures à disposition.
En résumé
- L'étoile principale ne se trouve pas au foyer d'une ellipse, bien que l'orbite apparente en soit une. Cet écart encode alors l'inclinaison et l'orientation réelles du système.
- La technique contemporaine prend en compte une partie linéaire (les constantes de Thiele-Innes) et une partie non linéaire (P, T0, e grâce à l'équation de Kepler), ajustées par moindre carrés sur l'ensemble des mesures (ρ, θ) accessibles.
- Le résultat correspond à la totalité des 7 éléments orbitaux exposés dans l'ORB6 (voir plus loin).
